Как обозначается сумма в формулах: Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования
Содержание
Решение высшей математики онлайн
‹— Назад
В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда число слагаемых обозначено буквой, применяется следующая запись:
которая расшифровывается так
| (14.1) |
где — функция целочисленного аргумента. Здесь символ (большая греческая буква «сигма») означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .
Пример 14.2 Вычислим несколько сумм:
1) .
2) . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти
3) .
4) .
5) .
В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому
С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:
| (14.2) |
где для трехмерного пространства , для плоскости .
Для единообразия будем считать, что
и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.
Замечание 14.1 Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина. Например,
Или
в правой части никакой буквы нет, значит, и результат от не зависит.
Предложение 14.1 Множитель, не зависящий от индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:
Доказательство этого предложения предоставляется читателю.
Предложение 14.2
| (14.3) |
Это предложение является частным случаем следующего утверждения.
Предложение 14.3
| (14.4) |
Доказательство. Пусть
Тогда
Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим сумму элементов при всех допустимых значениях индексов суммирования. Слагаемые сгруппируем по-другому, а именно, сначала соберем все слагаемые, у которых первый индекс равен 1, потом, у которых первый индекс равен 2 и т.д. Получим
Заменив в этом равенстве в левой части его выражением через знаки суммирования, получим формулу (14.4).
Замечание 14.2 Двойные суммы из равенства (14.4) можно записывать и без использования скобок
Нужно помнить, что двойная сумма означает сумму элементов для всех допустимых значений индексов суммирования.
По этой же причине, если встречается запись, содержащая подряд три или более символов суммирования, то порядок расстановки этих символов можно менять произвольно.
Если границы изменения всех индексов суммирования одинаковы, то можно для суммирования по нескольким индексам использовать запись вида
Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, налагаемые на индексы суммирования. Так запись
означает, что в сумму не включаются величины , ,…, , то есть с равными индексами.
Иногда в записи суммы не указываются границы изменения индексов, например,
Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут оговорены сразу после окончания формулы.
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
определение и свойства.
Вычисление детерминантов. Правило Крамера. Метод Гаусса решения системы
ЛЕКЦИЯ № 1
1.
Символ
В
математике часто приходится рассматривать сумму большого числа слагаемых. Для
таких сумм введено следующее обозначение:
Индекс
называется индексом суммирования. В
качестве индекса суммирования может быть употреблена и любая другая буква.
Имеют
место следующие правила обращения со знаком суммы ,
1.
Обозначение индекса суммирования
может быть изменено
2.
Множитель, не зависящий от
индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:
3.
Два знака суммы могут быть
переставлены
Доказательство
приведенных правил легко доказывается на основании введенного символа
суммирования. Для примера доказательства докажем правило 2.
Что и требовалось доказать.
2.
Детерминанты.
Определение и
свойства
Определение. Матрицей размеров называется
совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из строк и столбцов:
Числа , составляющие матрицу, называются элементы
матрицы и
обозначаются буквами с двумя индексами,
первый из них обозначает номер строки,
а второй – номер столбца. Если число строк
в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Если же число
строк в матрице неравно числу столбцов, то матрица называется прямоугольной.
Детерминантом
(определителем) матрицы мы будем обозначать или,
Определение.
Детерминант квадратной матрицы – это
число, которое ставится в соответствие матрице и может быть вычислено по ее
элементам по формуле.
— элементы матрицы
— алгебраическое дополнение
соответствующего элемента матрицы, которое вычисляется по формуле
где —
минор соответствующего элемента
матрицы.
Определение.
Минор это детерминант матрицы
порядка , полученной из вычеркиванием
строки и -го
столбца.
Определение.
Матрица порядка 1 состоит из
одного числа, и ее детерминант по определению считают равным этому числу.
На
первый взгляд это определение может показаться не эффективным: детерминант
матрицы порядка определяется через детерминанты
матрицы порядка , а эти детерминанты сами не
определены. В действительности же в этом ничего, плохого нет. Для определения
чисел мы можем воспользоваться той же формулой,
поскольку она имеет место для матриц любого порядка. Тем самым мы выразим через детерминанты матриц порядка . Можно продолжать этот процесс, пока мы не
придем к матрицам первого порядка, а для них детерминант определен
непосредственно.
Применим
наше определение к матрицам 2 – го порядка.
Единичной
матрицей называется матрица.
Для
нее , так как, раскрывая определитель по определению,
мы получаем и так далее.
И окончательно .
Определение.
Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то
полученная матрица будет называться
транспонированной, а переход от к — транспонирование.
Матрицу,
полученную из матрицы транспонированием, обозначают .
Сформулируем
одну очень важную теорему в теории определителей.
Теорема. Для каждой квадратной матрицы
порядка имеет место формула
или
Эти
формулы называются формулами разложения детерминанта соответственно по
строке и по столбцу.
Доказательство:
Доказательство мы проведем методом полной индукции. Начнем с первой формулы.
Непосредственно очевидно, что для матриц второго порядка она справедлива
Допустим,
что формула верна для матриц порядка , и докажем ее для
матрицы порядка.
При
любом минор рассматриваемой
матрицы есть детерминант некоторой матрицы порядка , в которую входит (без своего элемента) -я строка матрицы .
Пользуясь предположением индукции, мы можем разложить по
этой строке.
Минор получен
из матрицы вычеркиванием 1-й и -й
строк и -го и -го
столбцов, таким образом у нас . И мы получим, поменяв
порядок суммирования
Что и требовалось доказать.
Доказательство
второй формулы теоремы совершенно аналогично проведенному доказательству и
провести его, мы предоставляем читателю.
Свойства
детерминантов.
Свойство
1. Для любой квадратной матрицы
Доказательство:
Доказательство мы проведем методом полной индукции. Начнем с первой формулы.
Непосредственно очевидно, что для матриц второго порядка она справедлива
Допустим,
что формула верна для матриц порядка , и докажем ее для
матрицы порядка.
Пусть
матрица, получаемая из вычеркиванием -й
строки и -го столбца, а матрица , получаемая из вычеркиванием
-й строки и -го
столбца. Легко видеть, что, . Поэтому из
предложения индукции следует, что , или, словами,
дополнительный минор элемента в матрице равен дополнительному минору элемента в матрице .
Кроме
того, , и разложение по -й строке совпадает с разложением по -му столбцу.
Свойство доказано.
Сумма первых n членов ряда
Горячая математика
Сумма членов последовательности называется
серии
.
Если
последовательность
является
арифметика
или же
геометрический
есть формулы для нахождения суммы первых
н
термины, обозначаемые
С
н
, фактически не добавляя все термины.
(Обратите внимание, что последовательность не может быть ни арифметической, ни геометрической, и в этом случае вам нужно будет добавлять с помощью грубой силы или какой-либо другой стратегии.)
Сумма членов арифметической последовательности (арифметического ряда)
Чтобы найти сумму первых
н
члены арифметической прогрессии используют формулу,
С
н
знак равно
н
(
а
1
+
а
2
)
2
,
где
н
это количество терминов,
а
1
является первым термином и
а
н
это последний срок.
Пример 1:
Найдите сумму первых
20
члены арифметического ряда, если
а
1
знак равно
5
а также
а
20
знак равно
62
.
С
20
знак равно
20
(
5
+
62
)
2
С
20
знак равно
670
Пример 2:
Найдите сумму первых
40
члены арифметической прогрессии
2
,
5
,
8
,
11
,
14
,
⋯
Сначала найдите
40
й
срок:
а
40
знак равно
а
1
+
(
н
−
1
)
г
знак равно
2
+
39(
3
)
знак равно
119
Затем найдите сумму:
С
н
знак равно
н
(
а
1
+
а
н
)
2
С
40
знак равно
40
(
2
+
119)
2
знак равно
2420
Пример 3:
Найдите сумму:
∑
к
знак равно
1
50
(
3
к
+
2
)
Первая находка
а
1
а также
а
50
:
а
1
знак равно
3
(
1
)
+
2
знак равно
5
а
20
знак равно
3
(
50
)
+
2
знак равно
152
Затем найдите сумму:
С
к
знак равно
к
(
а
1
+
а
к
)
2
С
50
знак равно
50
(
5
+
152
)
2
знак равно
3925
Сумма членов геометрического ряда (геометрического ряда)
Чтобы найти сумму первых
н
члены геометрической последовательности используют формулу,
С
н
знак равно
а
1
(
1
−
р
н
)
1
−
р
,
р
≠
1
,
где
н
это количество терминов,
а
1
является первым термином и
р
это
обыкновенное отношение
.
Пример 4:
Найдите сумму первых
8
членов геометрического ряда, если
а
1
знак равно
1
а также
р
знак равно
2
.
С
8
знак равно
1
(
1
−
2
8
)
1
−
2
знак равно
255
Пример 5:
Находить
С
10
геометрического ряда
24
+
12
+
6
+
⋯
.
Сначала найдите
р
.
р
знак равно
р
2
р
1
знак равно
12
24
знак равно
1
2
Теперь найдите сумму:
С
10
знак равно
24
(
1
−
(
1
2
)
10
)
1
−
1
2
знак равно
306964
Пример 6:
Оценивать.
∑
н
знак равно
1
10
3
(
−
2
)
н
−
1
(Вы находите
С
10
для серии
3
−
6
+
12
−
24
+
⋯
, обыкновенное отношение которого равно
−
2
.)
С
н
знак равно
а
1
(
1
−
р
н
)
1
−
р
С
10
знак равно
3
[
1
−
(
−
2
)
10
]
1
−
(
−
2
)
знак равно
3
(
1
−
1024
)
3
знак равно
−
1023
Смотрите также:
сигма-обозначение ряда
Mathwords: арифметические ряды
Mathwords: арифметические ряды
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
